| Advanced course numerical analysis and optimization [2024 SoSe] | ||
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| Code MM25 |
Name Advanced course numerical analysis and optimization |
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| CP 8 pro Veranstaltung |
Duration pro Veranstalung: ein Semester |
Offered mindestens jährlich |
| Format pro Veranstaltung: Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWS |
Workload pro Veranstaltung: 240 h; davon 60 h Präsenz in der Vorlesung 30 h Präsenz in Übungen 120 h Hausaufgaben und selbständiges Nacharbeiten 30 h Prüfungsvorbereitung |
Availability Es können mehrere verschiedene Veranstaltungen in diesem Modul absolviert werden. M.Sc. Mathematik M.Sc. Scientific Computing |
| Language Deutsch oder Englisch |
Lecturer(s) wechselnd |
Examination scheme 1+1 pro Veranstaltung |
| Learning objectives | Vertieftes Verständnis der Strukturen, Sätze, Beweise und Methoden eines engeren Forschungsgebietes der Mathematik, Fähigkeit, Aussagen aus dem Teilgebiet selbständig zu beweisen und Beweistechniken zu diskutieren, sowie Aufgaben auf ihre Charakteristika hin zu analysieren und zu klassifizieren um geeignete Lösungsmethoden zu wählen, Fähigkeit, sich Teilaspekte des Themengebietes selbständig zu erarbeiten. |
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| Learning content | In diesem Modul werden folgende Veranstaltungen angeboten: * Gemischte Finite Elemente: Stokes- und Navier-Stokes-Gleichungen, Sattelpunktprobleme, das closed range theorem und inf-sub-Stabilität, Taylor-Hood- Elemente, Darcy-Gleichungen für Strömung durch poröse Medien, finite element exterior calculus, discontinuous Galerkin methods * Parallele Löser für Finite Elemente: abstrakte Unterraumkorrekturverfahren, überlappende Schwarz-Verfahren, geometrische und algebraische Mehrgitter- verfahren, nichtüberlappende Gebietszerlegungsverfahren, Konvergenztheorie der Unterraumkorrekturverfahren, Implementation und parallele Skalierbarkeit * Numerische Optimierung bei Differentialgleichungen II: Parameterschätzung mit Beschränkungen und Konvergenzanalyse für Verallgemeinerte (beschränkte) Gauß-Newton-Verfahren, Statistische Sensitivitätsanalyse (Vertrauens-/ Konfidenzgebiete, Kovarianz-Analyse), optimale Versuchsplanung (Problemformulierung, Sequentielle Versuchsplanung, Numerische Lösung mit SQP-Verfahren, effiziente Ableitungsberechnung), Globalisierung der Konvergenz bei Newton-Verfahren für sehr nichtlineare Probleme (Abstiegsstrategien, Natürliche Niveaufunktionen, Restriktiver Monotonie-Test (RMT) und praktische Realisierung), Fortsetzungsmethoden (Allgemeine Strategie, Verfahren höherer Ordnung, Schrittweitensteuerung), Effiziente Ableitungsberechnung (Vorwärts- und Rückwärtsmodus, Anwendung auf gewöhnliche Differentialgleichungen und Diskretisierungs-Verfahren dafür) * Uncertainty Quantification 2: Im Rahmen dieser Veranstaltung werden methodische Ansätze vermittelt, die die Quantifizierung von Unsicherheiten im Zusammenhang mit Differentialgleichungen ermöglichen. Folgende Schwerpunkte werden u.a. behandelt: Karhunen-Loève Expansion, Kollokation bzw. hochdimensionale Quadratur und Interpolation, Dünne Gitter, Stochastische Galerkin Diskretisierung für partielle Differentialgleichungen, Bayessche Formulierung inverser Probleme * Informationsgeometrie und Maschinelles Lernen: - Differentialgeometrie: Mannigfaltigkeiten, Untermannigfaltig- keiten, Vektor-, Kovektor- und Tensorfelder, Riemannsche Metriken, affine Zusammenhänge, Geodäten, Krümmungstensor) - Informationsgeometrie: Maße auf endlichen Mengen, Fisher-Rao Metrik, alpha-Zusammenhänge, Divergenzfunktionen, Informationsprojektionen, graphische Modelle, Exponentialfamilie, statistische Mannigfaltigkeiten - Maschinelles Lernen: ausgewählte Probleme der Inferenz, des überwachten und unbewachten Lernens als Anwendungsbeispiele |
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| Requirements for participation | empfohlen ist: Grundmodul Numerik und Optimierung | |
| Requirements for the assignment of credits and final grade | Jede Veranstaltung wird mit einer benoteten mündlichen oder schriftlichen Prüfung abgeschlossen. Weitere Details werden von der bzw. dem Lehrenden zu Beginn der Veranstaltung bekannt gegeben. | |
| Useful literature | wird im LSF oder auf der Homepage der Vorlesung angegeben | |